DIVISIONE DI AMPOLLE SENZA TRAVASI


Ecco il testo originale:
DE QUODAM PATREFAMILIAS ET TRIBUS FILIIS EIUS
Quidam paterfamilias moriens dimisit haereditatem tribus filiis suis, XXX ampullas vitreas, quarum decem fuerunt plenae oleo. Aliae decem dimidiae. Tertiae decem vacuae.
Dividat, qui potest, oleum et ampullas, ut unicuique eorum de tribus filiis aequaliter obveniat tam de vitro, quam de oleo.

UN CAPOFAMIGLIA E I SUOI TRE FIGLI
Un capofamiglia, morendo, lasciò in eredità ai suoi tre figli 30 ampolle di vetro, di cui 10 erano piene d'olio, 10 erano piene a metà e 10 erano vuote.
Divida, chi può, l'olio e le ampolle, cosicché i tre figli ricevano quantità uguali sia di vetro sia di olio.



SOLUZIONI E RIFLESSIONI

Anche un bambino delle elementari può trovare la soluzione più semplice:
al primo figlio andranno 10 ampolle piene a metà; al secondo figlio 5 piene e 5 vuote; al terzo figlio 5 ampolle piene e 5 vuote.
Ecco che le parti di eredità sono uguali sia nella quantità d'olio sia nel numero di ampolle!

Note
Sembra un problema "normale" ma per capire che non lo è basta cominciare a riflettere.
E' necessario un discreto lavoro matematico per trovare tutte le 21 soluzioni distinte e, soprattuto, per dimostrare che non ce ne sono altre!

Le 10 ampolle piene e le 10 ampolle semipiene sono esattamente equivalenti a 30 ampolle semipiene.
Ogni figlio deve prendere 10 ampolle semipiene.

Si presentano sei casi possibili, che si equivalgono:
0 ampolle piene e 10 ampolle semipiene
1 ampolla piena e 8 ampolle semipiene
2 ampolle piene e 6 ampolle semipiene
3 ampolle piene e 4 ampolle semipiene
4 ampolle piene e 2 ampolle semipiene
5 ampolle piene e 0 ampolle semipiene

Poiché ogni figlio deve prendere 10 ampolle (piene, semipiene, oppure vuote) sono possibili cinque modalità di equa suddivisione del vino e delle ampolle:

Primo modo:
Uno dei tre figli prende: 1 ampolla piena, 8 ampolle semipiene e 1 ampolla vuota
Il secondo figlio prende: 4 ampolle piene, 2 ampolle semipiene e 4 ampolle vuote
Il terzo figlio prende: 5 ampolle piene, 0 ampolle semipiene e 5 ampolle vuote.

Secondo modo:
Uno dei tre figli prende: 2 ampolle piene, 6 ampolle semipiene e 2 ampolle vuote
Il secondo figlio prende: 3 ampolle piene, 4 ampolle semipiene e 3 ampolle vuote
Il terzo figlio prende: 5 ampolle piene, 0 ampolle semipiene e 5 ampolle vuote.

Terzo modo
Uno dei tre figli prende: 3 ampolle piene, 4 ampolle semipiene e 3 ampolle vuote
Il secondo figlio prende: 3 ampolle piene, 4 ampolle semipiene e 3 ampolle vuote
Il terzo figlio prende: 4 ampolle piene, 2 ampolle semipiene e 4 ampolle vuote

Quarto modo
Uno dei tre figli prende: 4 ampolle piene, 2 ampolle semipiene e 4 ampolle vuote
Il secondo figlio prende: 4 ampolle piene, 2 ampolle semipiene e 4 ampolle vuote
Il terzo figlio prende: 2 ampolle piene, 6 ampolle semipiene e 2 ampolle vuote

Quinto modo
Uno dei tre figli prende: 5 ampolle piene, 0 ampolle semipiene e 5 ampolle vuote
Il secondo figlio prende: 5 ampolle piene, 0 ampolle semipiene e 5 ampolle vuote
Il terzo figlio prende: 0 ampolle piene, 10 ampolle semipiene e 0 ampolle vuote.

Per ognuna delle prime due modalità descritte i tre figli possono dividersi le ampolle in 6 modi diversi.
Per ognuna delle ultime tre modalità descritte i tre figli possono dividersi le ampolle in 3 modi diversi.